11.1
Всем четным числам пририсовали по флажку, одним синий, другим красный.
Всегда ли найдется бесконечная арифметическая прогрессия из четных чисел с одинаковыми флажками?
11.2
Найдите такие вещественные числа p, q, r, s чтобы равенство
(2a-1)20-(pa+q)20=(a2+ra+s)10 выполнялось при любых a.
11.3
Сколько есть неотрицательных целых чисел, которые в двоичной записи имеют длину не более чем в одиннадцать цифр, и при этом их двоичная запись не содержит трех единиц подряд?
11.4
Гоша и Гена играют в палочки. Изначально в кучке
лежит 20 палочек, игроки берут по очереди от 1 до 5 палочек, выигрывает
тот, кто заберет последнюю. Гена не очень опытный игрок, и берет палочки
случайным образом, не нарушая, впрочем, правил игры. Гоша очень умный, и
всегда берет палочки так, чтобы максимизировать вероятность
собственного выигрыша.
Первый ход делает Гена.
С какой вероятностью он выиграет?
11.5
В некоторых клетках шахматной доски лежат гвоздики,
показывая острием либо вниз, либо вверх, либо вправо, либо влево. На
границе доски (вертикали a и h, горизонтали 1 и 8) гвоздики смотрят
против часовой стрелки: вниз на вертикали a, вверх на вертикали h, влево
на 8 горизонтали (кроме a8 и h8), вправо на 1 горизонтали (кроме a1 и
h1). Ни в каких двух соседних (в том числе и по диагонали) клетках
гвоздики не смотрят в противоположных направлениях.
Возможно ли так заполнить все клетки доски?